【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱)中,BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
(1)求證:平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)設(shè)D為AC的中點(diǎn),求平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1,BC=CC1,
∴四邊形BCC1B1是正方形,
∴BC1⊥B1C,
∵AB⊥BC,AB⊥BB1,BC,BB1平面BCC1B1,BC∩BB1=B,
∴AB⊥平面BCC1B1,∵BC1平面BCC1B1,
∴AB⊥BC1,又∵AB∥A1B1,
∴A1B1⊥BC1,又A1B1平面平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1B1C,又BC1平面ABC1,
∴平面ABC1⊥平面A1B1C.
(2)證明:∵BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
∴AB= ,
建立以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BB1分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則B(0,0,0),C(1,0,0),B1(0,0,1),A(0, ,0),C1(1,0,1),D( , ,0),
設(shè)平面ABC1的法向量為 =(x,y,z),
則 =(1,0,1), =(0, ,0),
則 =x+z=0, = y=0,
令x=1,則z=﹣1,y=0,即平面ABC1的法向量為, =(1,0,﹣1),
設(shè)平面C1BD的法向量為 =(x,y,z),
則 =(1,0,1), =( , ,0),
則 =x+z=0, = x+ y=0,
令y=1,則x=﹣ ,z= ,即平面C1BD的法向量為, =(﹣ ,1, ),
則 = = = =﹣
則平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值是 .
【解析】(1)由四邊形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C,由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1 , 故BC1⊥平面A1B1C,從而平面ABC1⊥平面A1B1C;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法即可平面ABC1與平面C1BD所成銳角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知所在的平面, 是的直徑, 是上一點(diǎn),且是中點(diǎn), 為中點(diǎn).
(1)求證: 面;
(2)求證: 面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小區(qū)規(guī)劃時(shí),計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地,如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米,圓心角從綠地的圓弧邊界上不同于A,B的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO與均為直線段,其中PC平行于綠地的邊界記其中
當(dāng)時(shí),求所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng):
若規(guī)劃中,綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路,且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元,當(dāng)變化時(shí),求鋪路所需費(fèi)用的最大值精確到1元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓: 的頂點(diǎn), 為橢圓的左焦點(diǎn)且橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為()的直線交橢圓于另一點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品要了解年廣告費(fèi)(單位:萬元)對(duì)年銷售額(單位:萬元)的影響,對(duì)近4年的年廣告費(fèi)和年銷售額數(shù)據(jù)作了初步整理,得到下面的表格:
用廣告費(fèi)作解釋變量,年銷售額作預(yù)報(bào)變量,若認(rèn)為適宜作為年銷售額關(guān)于年廣告費(fèi)的回歸方程類型,則
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(2)已知商品的年利潤(rùn)與的關(guān)系式為.根據(jù)(1)的結(jié)果,年廣告費(fèi)約為何值時(shí)(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若 ,求函數(shù)F(x)=f(x)ex的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=e﹣1﹣2a,方程f(x)=ex在(0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,使得不等式f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)自然數(shù)若與它的“反序數(shù)”相等,這個(gè)自然數(shù)就稱為一個(gè)“魔幻數(shù)”如數(shù)“”、“”都是“魔幻數(shù)”在的元素中,去掉所有的“魔幻數(shù)”后,形成一個(gè)不含“魔幻數(shù)”的子集,則中的元素共有______個(gè).
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