Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2ax2+bx+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若 ，求函數(shù)F（x）=f（x）ex的單調區(qū)間；
（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=ex在（0，1）內有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a= ，F(xiàn)（x）=（x2+bx+1）ex，

則F′（x）=（2x+b）ex+（x2+bx+1）ex=[x2+（b+2）x+b+1]ex=（x+1）[x+（b+1）]ex，

由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），

①若b+1=1，即b=0時，F(xiàn)′（x）=（x+1）2ex≥0，此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），

②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），

此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，

此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（﹣（b+1），﹣1），

③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0時，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，

此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），

由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），

此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（﹣1，﹣（b+1））

（2）解：方程f（x）=ex在（0，1）內有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

設g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

則g（x）在（0，1）內有零點，

設x0是g（x）在（0，1）內的一個零點，

則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，

設h（x）=g′（x），

則h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零點，

即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

當a≤ 時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當 ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有兩個零點，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

設φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

則φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

當1＜x＜ 時，φ′（x）＞0，此時函數(shù)φ（x）遞增，

當 ＜x＜e時，φ′（x）＜0，此時函數(shù)φ（x）遞減，

則φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

則h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

當 ＜a＜ 時，設h（x）的兩個零點為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增，

在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，

則g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

則g（x）在（x1，x2）內有零點，

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）若a= ，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系轉化為函數(shù)存在零點問題，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點之間的關系進行轉化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的零點與方程根的關系的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能正確解答此題．