Question

15．已知向量 $\overrightarrow{m}$=（sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$Acosx，$\frac{A}{2}$cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最大值為6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移$\frac{π}{12}$個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[0，$\frac{5π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積展開，通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為，一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過最大值求A；
（Ⅱ）通過函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移$\frac{π}{12}$個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達式，通過x∈[0，$\frac{5π}{24}$]求出函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$Asinxcosx+$\frac{A}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$Asin2x+$\frac{A}{2}$cos2x=A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
因為A＞0，由題意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位后得到，
y=6sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，
縱坐標不變，得到函數(shù)y=6sin（4x+$\frac{π}{3}$）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
因為x∈[0，$\frac{5π}{24}$]，所以4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時取得最大值6，4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$時函數(shù)取得最小值-3．
故g（x）在[0，$\frac{5π}{24}$]上的值域為[-3，6]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查計算能力．