Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，若關(guān)于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=f（x）=x+

1

x

，則 t≥2，或t≤-2，關(guān)于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這2個(gè)實(shí)數(shù)根大于2或小于-2．令f（t）=t²-（m+1）t+2m，再分①若這兩個(gè)根都大于2，②若這兩個(gè)根都小于-2，若這兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于-2，三種情況，分別求得m的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵關(guān)于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0
有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令t=f（x）=x+

1

x

，則 t≥2，或t≤-2，
故關(guān)于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這2個(gè)實(shí)數(shù)根大于2或小于-2．
令f（t）=t²-（m+1）t+2m，
①若這兩個(gè)根都大于2，
則由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＞2 f(2)=2＞0

，求得 m＞2+

3

．
②若這兩個(gè)根都小于-2，
則由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＜-2 f(-2)=4m+6＞0

，求得 m∈∅．
③若這兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于-2，則由

f(-2)=4m+6＜0 f(2)=2＜0

，可得m∈∅．
綜上可得，m的范圍為（2+

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．