Question

已知數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（-1）ⁿ（2n-1）（n∈N^*），S_n為其前n項(xiàng)和
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)a_n=（-1）ⁿ（2n-1），可求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）由（1）猜想S_n的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）依題設(shè)可得S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，S₄=-1+3-5+7=4；（5分）
（2）猜想：S_n=（-1）ⁿ•n．…（7分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即S_k=（-1）^k•k．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=（-1）^k•k+a_k+1=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）．
即n=k+1時(shí)，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，第（1）問(wèn)要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第二問(wèn)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．