Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是PD的中點．
（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）若θ=120°，求二面角C-PB-A的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA中點F，連結BF，推導出四邊形BCEF是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）推導出AC⊥BC，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取PA中點F，連結BF，
∵E為PD中點，∴$EF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$
又由已知$BC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，∴$EF\underline{\underline{∥}}BC$，
從而四邊形BCEF是平行四邊形…（3分）
∴EC∥BF，
又EC?平面PAB，BF?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．…（7分）
解：（Ⅱ）∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴AC⊥BC，
如圖所示以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，2），C（0，$\sqrt{3}$，0），
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0\\ 2{z_1}=0\end{array}\right.$，
解得一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，0）$…（10分）
設平面CPB的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-{x_2}+\sqrt{3}{y_2}-2{z_2}=0\\ \sqrt{3}{x_2}-2{y_2}=0\end{array}\right.$，
解得一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=（0，2，\sqrt{3}）$，…（13分）
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
∴二面角C-PB-A的平面角的余弦值$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（15分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．