Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x²-a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，則實數(shù)a的取值范圍是（-1，5）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）＜2可得-2＜x³-ax＜2，即為-x²-$\frac{2}{x}$＜-a＜-x²+$\frac{2}{x}$，等價為（-x²-$\frac{2}{x}$）_min＜-a＜（-x²+$\frac{2}{x}$）_max，分別判斷不等式左右兩邊函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=|x³-ax|，
由f（x）＜2可得-2＜x³-ax＜2，
即為-x²-$\frac{2}{x}$＜-a＜-x²+$\frac{2}{x}$，
設(shè)g（x）=-x²-$\frac{2}{x}$，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-2x+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，2]時，g′（x）≤0，
即g（x）遞減，（可由單調(diào)性的定義得到），
可得g（x）_min=-4-1=-5，
即有-a＞-5，即a＜5；
設(shè)h（x）=-x²+$\frac{2}{x}$，導(dǎo)數(shù)為h′（x）=-2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，2]時，h′（x）＜0，
即h（x）遞減，（可由減+減=減得到），
可得h（x）_max=-1+2=1．
即有-a＜1，即a＞-1．
綜上可得，a的范圍是-1＜a＜5．
故答案為：（-1，5）．

點評 本題考查不等式成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)法，運用單調(diào)性解決，屬于中檔題和易錯題．