Question

13．（理）關于x的實系數(shù)一元二次方程x²-2px+4=0的兩個虛根z₁、z₂，若z₁、z₂在復平面上對應的點是經(jīng)過原點的橢圓的兩個焦點，則該橢圓的長軸長為4．

Answer 1

分析 由題意兩個虛數(shù)根z₁，z₂是共軛復數(shù)，可得橢圓的短軸長：2b=|z₁+z₂|=2|p|，焦距為2c=|z₁-z₂|，然后求出長軸長．

解答 解：因為p為實數(shù)，p≠0，z₁，z₂為虛數(shù)，
所以（-2p）²-4×4＜0，即p²＜4，
解得-2＜p＜2．
由z₁，z₂為共軛復數(shù)，知Z₁，Z₂關于x軸對稱，
所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經(jīng)過原點，
可知原點為橢圓短軸的一端點，
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關系，
可得橢圓的短軸長=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距2c=|z₁-z₂|=$\sqrt{|（{z}_{1}+{z}_{2}）^{2}-4{z}_{1}{z}_{2}|}$=2$\sqrt{4-{p}^{2}}$，
長軸長2a=2$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{4-{p}^{2}+{p}^{2}}$=4，
故答案為：4．

點評 本題考查復數(shù)的基本概念，橢圓的基本性質(zhì)，是小型綜合題，考查學生分析問題解決問題的能力．