Question

3．在△ABC中，設D為邊BC的中點，求證：
（1）$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
（2）3$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 （1）由向量的加法可得：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$．①，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$．②，由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$，①+②得整理即可得證．
（2）∵令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，可求$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow-\overrightarrow{a}}{2}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$．代入等式證明等式左邊等于右邊即可．

解答 證明：（1）在△ABD中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$．①
在△ADC中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$．②
∵D為BC中點，∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$，
①+②得：2$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
（2）∵令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow-\overrightarrow{a}}{2}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$．
等式左邊=3$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{a}$+2（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）+（-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$．
等式右邊=2$\overrightarrow{AD}$=2×$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$．
則左邊=右邊．等式成立．從而得證．

點評 本題主要考查了向量加減混合運算及其幾何意義，屬于基本知識的考查．