Question

14．某校為了解一個(gè)英語教改實(shí)驗(yàn)班的情況，舉行了一次測(cè)試，將該班30位學(xué)生的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得圖示頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（Ⅰ）求出該班學(xué)生英語成績的眾數(shù)，平均數(shù)及中位數(shù)；
（Ⅱ）從成績低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，規(guī)定抽到的學(xué)生成績?cè)赱50，60）的記1績點(diǎn)分，在[60，80）的記2績點(diǎn)分，設(shè)抽取2人的總績點(diǎn)分為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）依題意，成績?cè)赱50，60）的學(xué)生數(shù)為2人，成績?cè)赱60，80）的學(xué)生數(shù)為10人，ξ可取的值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)為85．
平均數(shù)為：55×$\frac{2}{30}+65×\frac{4}{30}+75×\frac{6}{30}+85×\frac{10}{30}+95×\frac{8}{30}$=81，
∴該班學(xué)生英語成績的平均數(shù)為81．
設(shè)中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖，得：
[50，80）內(nèi)的頻率為（$\frac{2}{300}+\frac{4}{300}+\frac{6}{300}$）×10=0.4，[80，90）內(nèi)的頻率為$\frac{10}{300}×10$=$\frac{1}{3}$，
∴中位數(shù)x=80+$\frac{0.5-0.4}{\frac{1}{3}}×10$=83．
（Ⅱ）依題意，成績?cè)赱50，60）的學(xué)生數(shù)為30×$（\frac{2}{300}×10）=2$，
成績?cè)赱60，80）的學(xué)生數(shù)為30×$（\frac{4}{300}×10+\frac{6}{300}×10）$=10，
∴成績低于80分的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 12，
∴ξ可取的值為2，3，4，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{66}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{20}{66}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{45}{66}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{66}$	$\frac{20}{66}$	$\frac{45}{66}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=2×$\frac{1}{66}+3×\frac{20}{66}+4×\frac{45}{66}$=$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．