Question

（理科班）(12分)已知R,函數(shù)e.
(1)若函數(shù)f(x)存在極大值,并記為g(m),求g(m)的表達式;
（2）當m=0時,求證:.

Answer 1

(文科班) (1) a="4,b=24." (2)見解析

此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的得到區(qū)間，是一道中檔題．
（1）求出f（x）的導函數(shù)，由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處與直線y=2相切，把x=1代入導函數(shù)得到導函數(shù)值為0，把x=1代入f（x）中得到函數(shù)值為2，列出關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a和b的值；
（2）把導函數(shù)分解因式，分a大于0和a小于0兩種情況討論導函數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間．
解： (1)f′(x)=3x²-3a,因為曲線y=f(x)在點(2，f(2))處與直線y=8相切?，所以即
解得a=4,b=24.……………………6分
(2)f′(x)=3(x²－a)(a≠0).當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上單調遞增；此時函數(shù)f(x)沒有極值點.?……………8分
當a>0時，由f′(x)=0得x=±.
當x∈(－∞,－,)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增；
當x∈(－,)時，f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;
當x∈(,+∞)時，f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.
此時x=－是f(x)的極大值點，x=是f(x)的極小值點. ……………12分