Question

3．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=6x-2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2016}$對(duì)所有的（n∈N^*）都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）依題意可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），求出導(dǎo)數(shù)，可得a=3，b=-2，可得S_n=3n²-2n，再由數(shù)列的通項(xiàng)與求和關(guān)系，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得T_n，再由恒成立思想即可解得m的范圍，進(jìn)而得到最小正整數(shù)．

解答 解：（1）依題意可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），
則f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x-2，可得a=3，b=-2，則f（x）=3x²-2x
點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
即有S_n=3n²-2n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1也適合，則a_n=6n-5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）
因此，要使$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{2016}$成立，m必須且僅需滿足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2016}$，
即m≥1008，故滿足要求的最小正整數(shù)m為1008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及解析式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．