Question

12．直線x+2y=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1相交于A、B兩點，AB中點為M，若直線AB斜率與OM斜率之積為-$\frac{1}{4}$．則橢圓的離心率e的值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系結合中點坐標公式求出k_OM，再由直線AB斜率與OM斜率之積為-$\frac{1}{4}$，求得答案．

解答 解：設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，得（a²+4b²）x²-2a²x+a²-4a²b=0．
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$（2-x₁-x₂）=1-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，
∴k_OM=$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，又k_AB=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$•（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，即a²=4b²=4（a²-c²），即3a²=4c²，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
另解：設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點為M（x₀，y₀），
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
由x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂），
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
可得k_AB•k_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即a²=4b²=4（a²-c²），即3a²=4c²，
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．