Question

8．在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=1，PC=9．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m、n、p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積，若f（M）=（$\frac{1}{2}$，x，y），且$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²≥a恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)三棱錐的特點(diǎn)求出其體積，然后利用配方法求出$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=1，PC=9．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×1×9=$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$+x+y
即x+y=4，
∴y=4-x，
∴$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=$\frac{{x}^{2}}{2}$+（4-x）²=$\frac{3}{2}{x}^{2}-8x+16=\frac{3}{2}（x-\frac{8}{3}）^{2}+\frac{16}{3}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²≥a恒成立，
∴a≤$\frac{16}{3}$，
∴正實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{16}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了棱錐的體積，同時(shí)考查了配方法的運(yùn)用，是題意新穎的一道題目，屬于中檔題．