【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點
處的切線方程;
(2)求證:存在唯一的,使得曲線
在點
處的切線的斜率為
;
(3)比較與
的大小,并加以證明.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)
.
【解析】試題分析:(1)求出的值可得切點坐標(biāo),求出
,可得
的值,從而得切線斜率,利用點斜式可得曲線
在點
處的切線方程;(2)由已知
,只需證明方程
在區(qū)間
有唯一解,先利用導(dǎo)數(shù)證明
在區(qū)間
單調(diào)遞增,再利用零點存在定理可得結(jié)論;(3)當(dāng)
時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,可得
,即
,令
即可的結(jié)果.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域是
,
導(dǎo)函數(shù)為. 所以
, 又
,
所以曲線在點
處的切線方程為
,
(2)由已知.
所以只需證明方程 在區(qū)間
有唯一解.
即方程 在區(qū)間
有唯一解.
設(shè)函數(shù) ,則
.
當(dāng) 時,
,故
在區(qū)間
單調(diào)遞增.
又 ,
,
所以 存在唯一的,使得
.
綜上,存在唯一的,使得曲線
在點
處的切線的斜率為
.
(3).證明如下:首先證明:當(dāng)
時,
.
設(shè) ,則
.
當(dāng) 時,
,
所以
,故
在
單調(diào)遞增,
所以 時,有
,即當(dāng)
時,有
.
所以 .
【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點,屬于難題. 求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在
處的導(dǎo)數(shù),即
在點
出的切線斜率(當(dāng)曲線
在
處的切線與
軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為
);(2)由點斜式求得切線方程
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項a1=3,前n項和為Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{nan}的前n項和為Tn,若對任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程是
,以極點為原點,極軸為
軸的正半軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(1)寫出直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)為曲線
上任意一點,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(I)當(dāng)a=2時,求曲線y = 在點(0,f(0))處的切線方程;
(II)求函數(shù)在區(qū)間[0 , e -1]上的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,
,動點
滿足:以
為直徑的圓與
軸相切.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線
,直線
過點
且與
交于
兩點,當(dāng)
與
的面積之和取得最小值時,求直線
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓
上,且橢圓的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓
的右頂點,點
是橢圓
上不同的兩點(均異于
)且滿足直線
與
斜率之積為
.試判斷直線
是否過定點,若是,求出定點坐標(biāo),若不是,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱,
是棱
的中點.正三棱柱的正(主)視圖如圖(2).
(Ⅰ)求正三棱柱的體積;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)圖(1)中垂直于平面的平面有哪幾個?(直接寫出符合要求的平面即可,不必說明或證明)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點
與拋物線
的焦點重合,橢圓
的離心率為
,過點
作斜率不為0的直線
,交橢圓
于
兩點,點
,且
為定值.
(1)求橢圓的方程;
(2)求面積的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com