【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)求證:存在唯一的,使得曲線
在點(diǎn)
處的切線的斜率為
;
(3)比較與
的大小,并加以證明.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)
.
【解析】試題分析:(1)求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出
,可得
的值,從而得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;(2)由已知
,只需證明方程
在區(qū)間
有唯一解,先利用導(dǎo)數(shù)證明
在區(qū)間
單調(diào)遞增,再利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論;(3)當(dāng)
時(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性,可得
,即
,令
即可的結(jié)果.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域是
,
導(dǎo)函數(shù)為. 所以
, 又
,
所以曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
,
(2)由已知.
所以只需證明方程 在區(qū)間
有唯一解.
即方程 在區(qū)間
有唯一解.
設(shè)函數(shù) ,則
.
當(dāng) 時(shí),
,故
在區(qū)間
單調(diào)遞增.
又 ,
,
所以 存在唯一的,使得
.
綜上,存在唯一的,使得曲線
在點(diǎn)
處的切線的斜率為
.
(3).證明如下:首先證明:當(dāng)
時(shí),
.
設(shè) ,則
.
當(dāng) 時(shí),
,
所以
,故
在
單調(diào)遞增,
所以 時(shí),有
,即當(dāng)
時(shí),有
.
所以 .
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn),屬于難題. 求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在
處的導(dǎo)數(shù),即
在點(diǎn)
出的切線斜率(當(dāng)曲線
在
處的切線與
軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為
);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程是
,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為
軸的正半軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(1)寫出直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)為曲線
上任意一點(diǎn),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y = 在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(II)求函數(shù)在區(qū)間[0 , e -1]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,
,動(dòng)點(diǎn)
滿足:以
為直徑的圓與
軸相切.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
,直線
過點(diǎn)
且與
交于
兩點(diǎn),當(dāng)
與
的面積之和取得最小值時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓
上,且橢圓的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓
的右頂點(diǎn),點(diǎn)
是橢圓
上不同的兩點(diǎn)(均異于
)且滿足直線
與
斜率之積為
.試判斷直線
是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)是一個(gè)水平放置的正三棱柱,
是棱
的中點(diǎn).正三棱柱的正(主)視圖如圖(2).
(Ⅰ)求正三棱柱的體積;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)圖(1)中垂直于平面的平面有哪幾個(gè)?(直接寫出符合要求的平面即可,不必說明或證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)
與拋物線
的焦點(diǎn)重合,橢圓
的離心率為
,過點(diǎn)
作斜率不為0的直線
,交橢圓
于
兩點(diǎn),點(diǎn)
,且
為定值.
(1)求橢圓的方程;
(2)求面積的最大值.
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