Question

19．設(shè)P、Q是單位正方體AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）證明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求異面直線PQ和B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）可連接AD，AB₁，根據(jù)條件即可得出PQ為△AB₁D₁的中位線，從而得出PQ∥AB₁，這樣根據(jù)線面平行的判定定理便可得出PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）根據(jù)PQ∥AB₁，從而可得出∠AB₁C為異面直線PQ和B₁C所成的角，并容易得出∠AB₁C=60°，這樣即得出了異面直線PQ和B₁C所成的角．

解答 解：（1）如圖，連接AD，AB₁；

根據(jù)條件知P，Q分別為線段AD₁，D₁B₁的中點(diǎn)；
∴PQ為△AB₁D₁的中位線；
∴PQ∥AB₁，AB₁?平面AA₁B₁B，PQ?平面AA₁B₁B；
∴PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）∵PQ∥AB₁；
∴AB₁和B₁C的夾角便為異面直線PQ和B₁C所成角；
即∠AB₁C為異面直線PQ和B₁C所成的角；
連接AC，則△ACB₁為等邊三角形；
∴∠AB₁C=60°；
∴異面直線PQ和B₁C所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 考查正方形中心的概念，三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及異面直線所成角的定義及其求法．