Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁∈Z，a_n+1=a_n+log₂（1-$\frac{1}{n+1}$），則使{a_n}為整數(shù)的n的取值可能是（　　）

• A． 1022
• B． 1023
• C． 1024
• D． 1025

Answer 1

分析 由a_n+1-a_n=log₂n-log₂（n+1），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，可得a_n=a₁-log₂n，又a₁∈Z，即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+log₂（1-$\frac{1}{n+1}$），
∴a_n+1-a_n=log₂n-log₂（n+1），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（log₂（n-1）-log₂n）+（log₂（n-2）-log₂（n-1））+…+（log₂1-log₂2）+a₁
=a₁-log₂n，
∵a₁∈Z，
使{a_n}為整數(shù)的n的取值可能是1024．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“累加求和”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．