Question

斜率為

2

2

的直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于不同的兩點A、B．若點A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）P是橢圓上的動點，若△PAB面積最大值是4

2

，求該橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）畫出圖形，結合圖形，得出直線與橢圓兩交點坐標，根據(jù)兩點間的斜率公式，求出離心率e；
（2）由（1）知，設出橢圓的標準方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h；再求點P到直線的最大距離d，由此求出c即可．

解答： 解：（1）由題意知：直線與橢圓兩交點的橫坐標為-c，c，縱坐標分別為-

b2

a

，

b2

a

，
∴由

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

轉化為：2b²=2（a²-c²）=

2

ac
即2e²+

2

e-2=0，
解得e=

2

2

，e=-

2

（負根舍去），
∴橢圓的離心率為e=

2

2

；
（2）∵P是橢圓上的動點，當△PAB的面積最大值是4

2

時，
有

1

2

|AB|h=4

2

，
∵e=

2

2

，∴b=c，
∴a=

2

c；
∴設橢圓的方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
則|AB|=

6

c，
∴三角形PAB的高為h=

8

3 c

；
又直線為y=

2

2

x，
即

2

x-2y=0；
則點P（

2

ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為
d=

|2ccosθ-2csinθ|

2+4

=

2 2 csin(θ- π 4 )

6

≤

2 2 c

6

，
令

2 2 c

6

=

8

3 c

，
解得c=2，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質及直線的斜率公式和離心率公式的應用問題，也考查了點到直線的距離公式的應用問題，是難題．