Question

16．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，x≥0}\\{{-x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f[f（x）]=a（a∈R），則由該方程的實根的個數(shù)構(gòu)成的集合為{1，2，3，4，5}．

Answer 1

分析 結(jié)合分段函數(shù)可知，分三種情況討論函數(shù)y=f[f（x）]的單調(diào)性及極值情況，從而作出函數(shù)的圖象，從而確定方程f[f（x）]=a的實根個數(shù)即可．

解答 解：①當x≥0時，
f（x）=e^x-1≥0且在[0，+∞）上是增函數(shù)；
故f[f（x）]在[0，+∞）上是增函數(shù)；
且f[f（x）]≥f（f（0））=0；
②當-2≤x＜0時，
f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
f（x）在[-2，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0]上是減函數(shù)；
且f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≥0；
而f（x）=e^x-1在[0，+∞）上是增函數(shù)；
故f[f（x）]在[-2，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0）上是減函數(shù)；
且f（f（-2））=0，f（f（-1））=e-1，f（f（0））=0；
③當x＜-2時，
f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1＜0，
且f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0）上是減函數(shù)；
由-x²-2x≤-1得，
x≤-$\sqrt{2}$-1；
故f[f（x）]在（-∞，-$\sqrt{2}$-1]上是增函數(shù)，在[-$\sqrt{2}$-1，-2）上是減函數(shù)；
且f（f（-$\sqrt{2}$-1））=1，f（f（-2））=0；
作函數(shù)y=f[f（x）]的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
方程f[f（x）]=a解的個數(shù)可能為1，2，3，4，5；
故構(gòu)成的集合為{1，2，3，4，5}；
故答案為：{1，2，3，4，5}．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的圖象與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．