Question

15．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)．
（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BDM與平面ABF所成銳二面角．

Answer 1

分析 （1）以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，$\overrightarrow{OC}=（0，4，0）$是平面ADEF的一個(gè)法向量，證明$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$，即可證明BM∥平面ADEF；
（2）求出平面BDM的一個(gè)法向量、平面ABF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式求平面BDM與平面ABF所成銳二面角．

解答 （1）證明：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），M（0，2，1）．
∴$\overrightarrow{BM}=（-2，0，1）$--------（2分）
又$\overrightarrow{OC}=（0，4，0）$是平面ADEF的一個(gè)法向量．
∵$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$即$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{OC}$
∴BM∥平面ADEF------（4分）
（2）解：設(shè)M（x，y，z），則$\overrightarrow{EM}=（x，y，z-2）$，
又$\overrightarrow{EC}=（0，4，-2）$
設(shè)$\overrightarrow{EM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，即M（0，2，1）．--（6分）
設(shè)$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面BDM的一個(gè)法向量，則$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow n=2{x_1}+2{y_1}=0$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow n=4λ{(lán)y_1}+（2-2λ）{z_1}=0$
取x₁=1得 y₁=-1，z₁=2即$\overrightarrow n=（1，-1，2）$
又由題設(shè)，$\overrightarrow{OA}=（2，0，0）$是平面ABF的一個(gè)法向量，
∴$|{cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{2\sqrt{2+4}}}=\frac{6}{{\sqrt{6}}}$

點(diǎn)評 本題考查線面平行，考查平面BDM與平面ABF所成銳二面角，考查向量方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．