Question

6．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上異于A，B的一個動點，DC垂直于圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）當三棱錐C-ADE體積最大時，求平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）BC⊥AC，CD⊥BC．推出DE⊥平面ACD，證明DE∥BC，即可證明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）當三棱錐C-ADE體積最大時，$AC=BC=2\sqrt{2}$，建立空間直角坐標系，求出平面AED與平面ABE的法向量，利用向量的夾角公式求平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC
AC∩DC=C，AC，DC?面ACD，∴BC⊥平面ACD
又∵DC∥EB，DC=EB，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC
∴DE⊥平面ACD             …（5分）
（Ⅱ）解：∵AC²+BC²=AB²=16${V_{C-ADE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•DE=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•AC•BC=\frac{1}{6}AC•BC≤\frac{1}{6}•\frac{{A{C^2}+B{C^2}}}{2}=\frac{4}{3}$當且僅當$AC=BC=2\sqrt{2}$時取等號，
∴當三棱錐C-ADE體積最大時，$AC=BC=2\sqrt{2}$
如圖，以C為原點建立空間直角坐標系，

則$A（{2\sqrt{2}，0，0}），D（{0，0，1}），B（{0，2\sqrt{2}，0}），E（{0.2\sqrt{2}，1}）$$\overrightarrow{AD}=（{-2\sqrt{2}，0，1}），\overrightarrow{DE}=（{0，2\sqrt{2}，0}）$，設(shè)平面ADE的一個法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}=-2\sqrt{2}x+z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，2\sqrt{2}}）$
設(shè)平面ABE的一個法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x，y，z}）$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BE}=z=0\end{array}\right.$，
令x=1得$\overrightarrow{n_2}=（{1，1，0}）$，$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{3•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
∴當三棱錐C-ADE體積最大時，平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…（13分）

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．