4．△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}，|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{OA}|，則\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的值是1．

分析 由題意可得三角形是以角A為直角的直角三角形，解直角三角形求出相應的邊和角，代入數(shù)量積公式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，∴O為BC的中點，
又O為三角形的外心，∴三角形是以角A為直角的直角三角形，
∴OA=1，AB=$\sqrt{3}$，可得CA=1，CB=2，∠BCA=60°，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cos60°$=$1×2×\frac{1}{2}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查直角三角形中的邊角關系，是基礎題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|$\frac{{z}^{2}-2z+2}{z-1+i}$|的最大值為1+$\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，當點M為EC中點時．
（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BDM與平面ABF所成銳二面角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．已知（x-1）n的二項展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和為64，若（x-1）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，則a1等于448．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．已知f（x）=2x2-tx，且|f（x）|=2有且僅有兩個不同的實根α和β（α＜β）．
（1）求實數(shù)t的取值范圍
（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求證：4x1x2-t（x1+x2）-4＜0；
（3）設$g（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$，對于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）-g（x2）|≤λ（β-α）成立，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，P，Q，D，E分別是所在棱的中點，F(xiàn)，G是分別BB1，CC1上的點，滿足$\frac{BG}{{G{B_1}}}=\frac{CF}{{F{C_1}}}$=3．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面DEFG；
（Ⅱ）若該三棱柱的所有棱長為2，求四棱錐Q-DEFG的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，則$y=2cos[（a+b）x-\frac{π}{3}]$的最小正周期是（　　）
A．6πB．5πC．4πD．2π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，…P10，記mi=$\overrightarrow{A{B_2}}•\overrightarrow{A{P_i}}$（i=1，2，…，10），則m1+m2+…+m10的值為（　�。�
A．180B．$60\sqrt{3}$C．45D．$15\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．如圖，點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M，PN⊥BB1交CC1于點N．
（1）求證：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．
（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請觀察平面勾股定理的條件和結論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．
勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC
條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直
結論AB2+AC2=BC2？
請在答題紙上完成上表中的類比結論，并給出證明．

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