Question

3．已知A、B分別為曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B且與x軸垂直，P為l上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，連結(jié)AP與曲線C交于點(diǎn)M．
（1）若曲線C為圓，且|BP|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求弦AM的長；
（2）設(shè)N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，若O、N、P三點(diǎn)共線，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、P的坐標(biāo)，從而求出直線AP的方程，進(jìn)而求出弦AM的長；
（2）設(shè)出直線AP的方程，聯(lián)立方程組，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合BM⊥OP，求出a的值，從而求出曲線C的方程．

解答 解：（1）∵曲線C為圓，則曲線C為x²+y²=1，
∴A（-1，0），B（1，0），P（1，±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴直線AP的方程為：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
∴圓心到直線AP的距離為d=$\frac{1}{2}$，
∴弦AM=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$；
（2）由已知得A（-a，0），B（a，0），
由于點(diǎn)N在以BP為直徑的圓上，且O、N、P三點(diǎn)中線，故BM⊥OP，
顯然，直線AP的斜率k存在且k≠0，可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}{+y}^{2}=1}\\{y=k（x+a）}\end{array}\right.$得：（1+a²k²）x²+2a³k²x+a⁴k²-a²=0，
設(shè)點(diǎn)M（x_M，y_M），∴x_M•（-a）=$\frac{{{a}^{4}k}^{2}{-a}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，
故x_M=$\frac{a{{-a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，從而y_M=k（x_M+a）=$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，
∴M（$\frac{a{{-a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$），
∵B（a，0），∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{-{{2a}^{3}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$，$\frac{2ak}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$），
由BM⊥OP，可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{-{{2a}^{4}k}^{2}+{{4a}^{2}k}^{2}}{1{{+a}^{2}k}^{2}}$=0，
即-2a⁴k²+4a²k²=0，
∵k≠0，a＞0，∴a=$\sqrt{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=$\sqrt{2}$時(shí)，O、N、P三點(diǎn)共線，
∴曲線C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了直線和圓錐曲線的問題，第一問中求出AP的方程是解題的關(guān)鍵，第二問中求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道難題．