Question

16．已知函數(shù)y=1+$\frac{2a（sinθ-cosθ）}{{{a^2}+2acosθ+2}}$（a，θ∈R，a≠0）對任意的a，θ，則函數(shù)的最大值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將所求關(guān)系式進(jìn)行化簡，利用直線和圓的位置關(guān)系即可求得函數(shù)y的最大值．

解答 解：∵函數(shù)y=1+$\frac{2a（sinθ-cosθ）}{{{a^2}+2acosθ+2}}$=$\frac{{a}^{2}+2asinθ+2}{{a}^{2}+2acosθ+2}$，
則2aycosθ-2asinθ+（y-1）（a²+2）=0，
設(shè)m=cosθ，n=sinθ，則P（m，n）的軌跡為圓m²+n²=1，
即直線2aym-2an+（y-1）（a²+2）=0與圓m²+n²=1有公共點，
即圓心到直線的距離小于或等于半徑，即 $\frac{|y-1|{（a}^{2}+2）}{2|a|•\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1．
整理得$\frac{|y-1|}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤$\frac{2|a|}{{a}^{2}+2}$≤$\frac{2|a|}{2\sqrt{2}|a|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{|y-1|}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 y²-4y+1≤0，
求得2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$．
故y的最大值為2+$\sqrt{3}$，
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查直線與圓的位置關(guān)系，突出等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．