Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，
（1）并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值
（3）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-6ax+2b，且3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，從而f（x）=x³-x²-x，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f′（x）=3x²-2x-1，令f′（x）=0，則f′（x）=（3x+1）（x-1）=0，得x=-

1

3

或x=1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）由導數(shù)性質(zhì)求出x=-

1

3

時，f（x）_極大值=f（-

1

3

）=

5

27

，x=1，f（x）_極小值=f（1）=-1，由函數(shù)性質(zhì)得當-1＜a＜

5

27

時，關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax²+2bx，
∴f′（x）=3x²-6ax+2b，
由已知得f′（1）=0，則3-6a+2b=0，
∵當x=1時有極小值-1，
∴f（1）=1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0…①
1-3a+2b=-1…②
由①②得a=

1

3

，b=-

1

2

，
把a=

1

3

，b=-

1

2

代入f（x）中，
∴f（x）=x³-x²-x
∴f′（x）=3x²-2x-1，
令f′（x）=0，則f′（x）=（3x+1）（x-1）=0，
若f′（x）＞0，即（-∞，-

1

3

]，[1，+∞），函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
若f′（x）＜0，即[-

1

3

，1]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（2）由（1）知f（x）=x³-x²-x，
f′（x）=3x²-2x-1，
令f′（x）=0，則f′（x）=（3x+1）（x-1）=0，解得x=-

1

3

或x=1，
∵f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2．
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為2，最小值為-10．
（3）由（1）知函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

1

3

]，[1，+∞），
函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是[-

1

3

，1]，
∴x=-

1

3

時，f（x）_極大值=f（-

1

3

）=

5

27

，
x=1，f（x）_極小值=f（1）=-1，
∴當-1＜a＜

5

27

時，關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，

5

27

）．

點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導數(shù)與方程的綜合題，需要對參數(shù)進行分類討論．屬中檔題．