Question

12．已知兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)A，B在橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$上，且線段AB的垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)P（0，-1）．求：（Ⅰ）線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）線段AB長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$聯(lián)立，得（2+k²）x²+2kmx+m²-8=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．
法二：設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），利用點(diǎn)差法能求出線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．
（Ⅱ）由直線AB的斜率k=x₀，得直線AB的方程為y+2=x₀（x-x₀），與橢圓方程聯(lián)立，得：$（x_0^2+2）{x^2}-2{x_0}（x_0^2+2）x+x_0^4+4x_0^2-4=0$，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出線段AB長(zhǎng)度的最大值．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）解法一：設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$聯(lián)立，得（2+k²）x²+2kmx+m²-8=0，
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{km}{{2+{k^2}}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{2m}{{2+{k^2}}}$，…（3分）
∴${k_{MP}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=\frac{{2m+2+{k^2}}}{-km}=-\frac{1}{k}$，得m=-（2+k²）．…（5分）
∴${y_0}=\frac{2m}{{2+{k^2}}}=-2$．
∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為$y=-2（-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}）$．…（7分）
解法二：設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則$\frac{y_1^2}{8}+\frac{x_1^2}{4}=1$，$\frac{y_2^2}{8}+\frac{x_2^2}{4}=1$，
兩式相減得$\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{8}+\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{4}=0$，
得$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{2{x_0}}}{y_0}$…（4分）
又$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=-1$，得y₀=-2．
∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為$y=-2（-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}）$．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線AB的斜率k=x₀，
∴直線AB的方程為y+2=x₀（x-x₀），與橢圓方程聯(lián)立，
得：$（x_0^2+2）{x^2}-2{x_0}（x_0^2+2）x+x_0^4+4x_0^2-4=0$，
則${x_1}+{x_2}=2x_0^{\;}，{x_1}{x_2}=\frac{x_0^4+4x_0^2-4}{x_0^2+2}$，…（10分）
∴$|{AB}|=\sqrt{1+x_0^2}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{\frac{8（x_0^2+1）（2-x_0^2）}{x_0^2+2}}$…（12分）
=$2\sqrt{2}\sqrt{-[{（x_0^2+2）+\frac{4}{x_0^2+2}}]+5}≤2\sqrt{2}$，…（14分）
當(dāng)x₀=0取等號(hào)，線段AB長(zhǎng)度的最大值為$2\sqrt{2}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查線段長(zhǎng)的最大值的求法，考查圓錐曲線、直線方程、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)差法、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．