Question

若點(diǎn)A，B在曲線x²-y²=2（x＞0）上，則

OA

•

OB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，寫出兩向量的數(shù)量積，把縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，然后利用基本不等式求得最小值．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＞0，x₂＞0，且x₁x₂≥2．

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x1x2-

x12-2

•

x22-2

=x1x2-

(x1x2)2-2(x12+x22)+4

≥x1x2-

(x1x2)2-4x1x2+4

=x1x2-

(x1x2-2)2

=x₁x₂-|x₁x₂-2|
=x₁x₂-（x₁x₂-2）
=2．
∴

OA

•

OB

的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．