Question

【題目】已知，． 對于函數(shù)、，若存在常數(shù)，，使得，不等式都成立，則稱直線是函數(shù)與的分界線．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）時(shí)，與存在“分界線”，理由見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)后分,與三種情況討論即可.

(2)由題意,代入時(shí),有,再根據(jù)二次函數(shù)的恒成立問題求得,再證明即可.

（1）由得,

若時(shí),有,則在上單調(diào)遞增；

若時(shí),由解得,

若時(shí),對于,有；,有,

則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；

若時(shí),對于,有；,有,

則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．

（2）當(dāng)時(shí),,,

若對都成立,

即對都成立．

則時(shí),有；且,對都成立,

即,對都成立．

所以 ,．

此時(shí),令,

則,

令，在上恒成立，

又在上，

∴在單增且，

從而有時(shí),；時(shí),,即在

所以在上遞減,在上遞增．

因此,即．

故時(shí),與存在“分界線”．