Question

13．等腰直角三角形ABC的斜邊長為5，以CB為半徑的扇形的圓心角為$\frac{5π}{6}$，點P為扇形弧BD上任一點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值為（　�。�

• A． 5+5$\sqrt{5}$
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． 5-$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{25}{2}$（1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 利用向量的三角形法則將所求轉(zhuǎn)化為向量$\overrightarrow{CP}$與$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CA}$的數(shù)量積，設∠BCP=θ，借助于三角函數(shù)的有界性求最大值．

解答 解：由已知△ABC是等腰直角三角形，AB=5，所以AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，設∠BCP=θ，
則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CP}$）（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}$）=$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+{\overrightarrow{CP}}^{2}-\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CP}$=$\frac{25}{2}$$-\frac{25}{2}cosθ$-$\frac{25}{2}cos（\frac{π}{2}+θ）$=$\frac{25}{2}-\frac{25}{2}cosθ+\frac{25}{2}sinθ$=$\frac{25}{2}+\frac{25\sqrt{2}}{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，
因為扇形的圓心角為$\frac{5π}{6}$，所以$θ-\frac{π}{4}$$∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，所以sin（$θ-\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值為$\frac{25}{2}（1+\sqrt{2}）$；
故選：D．

點評 本題考 查了向量的三角形法則的運用以及化簡三角函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的有界性求最值；屬于中檔題．