Question

5．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-2．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，1]恒有f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）f（x）是否存在三個零點，若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，去掉絕對值，分類討論，即可求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）要使函數(shù)小于0，則x|x-a|＜2，而x∈[0，1]并且一定正數(shù)，只要|x-a|＜2，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）去掉絕對值，利用f（x）存在三個零點，f（a）＜0，可得$\frac{{a}^{2}}{4}$-2＞0且a＞0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=x|x-a|-2=x|x-2|-2，
0＜x＜2時，f（x）=-（x-1）²-1，∴-2＜f（x）＜-1；
2≤x≤3時，f（x）=（x-1）²-3，∴-2≤f（x）≤1
∴函數(shù)f（x）在[0，3]上的最大值為1、最小值為-2；
（Ⅱ）要使函數(shù)小于0，則x|x-a|＜2，而x∈[0，1]并且一定正數(shù)，
∴只要|x-a|＜$\frac{2}{x}$，即為x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$，
∴1-2＜a＜1+2，∴-1＜a＜3；
（Ⅲ）x＞a時，f（x）=x|x-a|-2=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-2，
x＜a時，f（x）=x|x-a|-2=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-2，
∵f（x）存在三個零點，f（a）＜0，∴$\frac{{a}^{2}}{4}$-2＞0且a＞0，
∴a＞2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．