Question

已知公比為負(fù)值的等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₅=4，a₄=-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＜0，由a₁a₅=4，a₄=-1．可得

a

2 1

q4=4，a1q3=-1，解得即可；
（2）由b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=n，可得a_n+b_n=

8

(-2)n-1

+n，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＜0，
∵a₁a₅=4，a₄=-1．
∴

a

2 1

q4=4，a1q3=-1，解得q=-

1

2

，a₁=8．
∴an=8×(-

1

2

)n-1=

8

(-2)n-1

．
（2）∵b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=（n+1）×(1-

1

n+1

)=n，
∴a_n+b_n=

8

(-2)n-1

+n，
其前n項和S_n=8×

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

+

n(n+1)

2

=

16

3

[1-(-

1

2

)n]+

n(n+1)

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．