Question

3．在矩形ABCD中，AB=4，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{17}$，E為線段AB上一點，且BD⊥CE，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}$=14．

Answer 1

分析 由題意建立平面直角坐標(biāo)系，得到A，B的坐標(biāo)，結(jié)合|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{17}$得到C，D的坐標(biāo)，然后設(shè)出點E的坐標(biāo)，由BD⊥CE求得E的坐標(biāo)，然后再由數(shù)量積的坐標(biāo)運算得答案．

解答 解：如圖，以A為原點，AB、AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），B（4，0），
∵$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|=\sqrt{17}$，
∴$|\overrightarrow{AD}|=1$，則D（0，1），C（4，1），
設(shè)E（x，0），$\overrightarrow{CE}=（x-4，-1），\overrightarrow{BD}=（-4，1）$，
則$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=4（4-x）-1=0$．
∴x=$\frac{15}{4}$，∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{15}{4}，-1）$．
又$\overrightarrow{AC}=（4，1）$，∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}=15-1=14$．
故答案為：14．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，建立坐標(biāo)系求解是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．