Question

11．為了解某市今年初二年級男生的身體素質狀況，從該市初二年級男生中抽取了一部分學生進行“擲實心球”的項目測試．成績低于6米為不合格，成績在6至8米（含6米不含8米）的為及格，成績在8米至12米（含8米和12米，假定該市初二學生擲實心球均不超過12米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在10米到12米之間．
（1）求實數(shù)a的值及參加“擲實心球”項目測試的人數(shù)；
（2）根據(jù)此次測試成績的結果，試估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（3）若從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生來自不同組的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根據(jù)樣本容量=頻數(shù)÷頻率，求出參加“擲實心球”項目測試的人數(shù)；
（2）根據(jù)題意，成績在最后兩組的為優(yōu)秀，其頻率為0.15+0.05，由頻率計算公式即可算出該樣本中成績優(yōu)秀的人數(shù)，根據(jù)樣本估計總體的原則得出估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（3）由頻率計算公式得樣本中第一組共有2人，得第二組共有6人．用列舉的方法計算出基本事件的總數(shù)共有28個，而抽取的2名學生來自不同組構成的基本事件有12個．由此結合古典概型計算公式即可算出所求概率．

解答 解：（1）由題意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．
所以此次測試總人數(shù)為$\frac{4}{0.05×2}$=40．
答：此次參加“擲實心球”的項目測試的人數(shù)為40人．     
（2）由圖可知，參加此次“擲實心球”的項目測試的初二男生，成績優(yōu)秀的頻率為（0.15+0.05）×2=0.4，
則估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為0.4．                           
（3）設事件A：從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取2名學生來自不同組．
由已知，測試成績在[2，4）有2人，記為a，b；在[4，6）有6人，記為c，d，e，f，g，h．
從這8人中隨機抽取2人共28種情況ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，
事件A包括共12種情況．a(chǎn)c，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，
所以事件A的概率P=$\frac{12}{28}$=$\frac{3}{7}$．
答：隨機抽取的2名學生來自不同組的概率$\frac{3}{7}$．

點評 本題給出頻率分布直方圖，求樣本中成績優(yōu)秀的人數(shù)，并求一個隨機事件的概率．著重考查了頻率分布的計算公式和古典概型計算公式等知識，屬于基礎題．