Question

12．已知y=f（x）為定義在R上奇函數(shù)，并且當x∈（0，+∞）時，f（x）=2lnx-mx+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在（-∞，0）和x=0時的解析式；
（2）令f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=2ln（-x）+mx+$\frac{1}{2}$x²，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-2ln（-x）-mx-$\frac{1}{2}$x²．（x＜0）
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2lnx-mx+\frac{1}{2}{x}^{2}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-2ln（-x）-mx-\frac{1}{2}{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）當1≤x≤2時，f′（x）=$\frac{2}{x}$-m+x，
∵f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，∴$\frac{2}{x}$-m+x≤0在[1，2]上恒成立．
∴m≥$\frac{2}{x}+x$在[1，2]上恒成立．
令g（x）=$\frac{2}{x}+x$，則g′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0得1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=0，解得x=$\sqrt{2}$．
∴當1≤x$＜\sqrt{2}$時，g′（x）＜0，當$\sqrt{2}＜$x≤2時，g′（x）＞0．
∵g（1）=3，g（2）=3．
∴g_max（x）=3．
∴m≥3．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的最值及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．