Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+1}，x≥0}\\{-ln（1-x），x＜0}\end{array}}$，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程，通過圖象觀察，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，x≥0，f（x）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
為雙曲線4y²-x²=1在第一象限的部分，
漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x；
由y=-ln（1-x），
可得y′=$\frac{1}{1-x}$=1，可得x=0，
即y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程為y=x，
此時(shí)函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
若函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，
則k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，知識綜合性強(qiáng)．