Question

13．已知全集U=R，集合A={x|y=log₂（11-x²）＞1}，B={x|x²-x-6＞0}，M={x|x²+bx+c≥0}．
（1）求A∩B； 
（2）若∁_UM=A∩B，求b、c的值．
（3）若x²+bx+c=0一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求z=-2b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解對(duì)數(shù)不等式，求得A，解一元二次不等式，求得B，可得A∩B．
（2）由題意可得M={x|x≤-3或 x≥-2 }，-3和-2是x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得b、c的值．
（3）設(shè)f（x）=x²+bx+c，則由題意求得（b，c）的范圍，畫(huà)出可行域，利用簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求得z=-2b+c的取值范圍．

解答 解：（1）全集U=R，集合A={x|y=log₂（11-x²）＞1}={x|11-x²＞2}={x|-3＜x＜3}，
B={x|x²-x-6＞0}={x|x＜-2，或x＞3}，A∩B={x|-3＜x＜-2}．
（2）∵∁_UM=A∩B={x|-3＜x＜-2}，∴M={x|x≤-3或 x≥-2 }，
故-3和-2是x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴-3+（-2）=-b，∴b=5，-3•（-2）=c=6，即b=5，c=6．
（3）若x²+bx+c=0一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
令f（x）=x²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c＞0}\\{f（1）=b+c+1＜0}\\{f（2）=2b+c+4＞0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{b+c+1＜0}\\{2b+c+4＞0}\end{array}\right.$，表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，
z=-2b+c，即c=2b+z，表示一組斜率等于2的平行直線，
故當(dāng)直線2b-c+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-1，0）時(shí)，z取得最小值為2，
當(dāng)直線2b-c+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，2）時(shí)，z取得最大值為8，
故z的取值范圍為（2，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．