Question

已知函數(shù)f（x）=（x-2）²，設(shè)a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

（1）證明：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=na_n的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

，f（x）=（x-2）²，
∴a_n+1=a_n-

f(an)

2an-4

=a_n-

(an-2)2

2(an-2)

=

1

2

an+1，
即a_n+1-2

1

2

an+1-2=

1

2

(an-2)，
即數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-2=3-2=1，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
則a_n-2=(

1

2

)n-1，即a_n=(

1

2

)n-1+2，
（2）b_n=na_n=

n

2n-1

+2n，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)+2（1+2+3+…+n）=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)+n²+n，
令T_n=(

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

)，
則

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
兩式相減得

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
即T_n=4（1-

1

2n

）-

n

2n

=4-

n+2

2n-1

，
故S_n=T_n+n²+n=4-

n+2

2n-1

+n²+n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．