Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)極值點(diǎn)；

（2）若對(duì)于恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，用導(dǎo)數(shù)法得到其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，然后用極值點(diǎn)的定義求解.

（2）求導(dǎo)，令，則，由（1）知，再分和兩種情況討論求解.

（1）當(dāng)時(shí)，，

則.

令，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

又，故在區(qū)間及區(qū)間內(nèi)各有唯一零點(diǎn).

由此可知，在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)：，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

從而知在上有三個(gè)極值點(diǎn).

（2），

令，

則，由（1）的證明過程知.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有時(shí)，；時(shí)，有，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，從而知時(shí)，恒有.

當(dāng)時(shí)，.但，

由在上單調(diào)遞減，故在上有唯一零點(diǎn)，

從而知在上有唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，

矛盾，舍去.

綜上，所求a的取值范圍是.