Question

15．已知點(diǎn)P為Rt△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA=PB=PC，M為斜邊AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PM⊥平面ABC；
（2）當(dāng)CA=CB時(shí)，求證：CM⊥面PAB．

Answer 1

分析 （1）過AC取中點(diǎn)記作Q，連接PM，PQ，MQ，可證MQ⊥AC，PQ⊥AC，可證AC⊥面PMQ，即可得AC⊥MP，又可證MP⊥AB，即可證明MP⊥面ABC．
（2）由（1）可得PM⊥CM，由CA=CB，M為斜邊AB的中點(diǎn)．可證CM⊥AB，即可證明CM⊥面PAB．

解答 證明：（1）過AC取中點(diǎn)記作Q，
連接PM，PQ，MQ，
因?yàn)镸Q∥BC（中位線），
所以MQ⊥AC，
PQ⊥AC（等腰三角形的中線即高線），
所以AC⊥面PMQ，
所以AC⊥MP，
因?yàn)镸P⊥AB（等腰三角形的中線即高線），
所以MP⊥面ABC．
（2）由（1）可得PM⊥CM，
因?yàn)镃A=CB，M為斜邊AB的中點(diǎn)．
所以CM⊥AB，
又因?yàn)镻M∩CM=M，
所以CM⊥面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．