Question

10．已知函數(shù)f（x）定義域D={x|x≠0}，且對(duì)任意的m、n∈D都有f（m•n）=f（m）+f（n）．
（1）求f（1）、f（-1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，求f（1）、f（-1）的值；
（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式．

解答 解：（1）∵對(duì)一切x，y∈R，都有f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴令n=1，則f（m）=f（m）+f（1），則f（1）=0，
令m=n=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
則f（-1）=0，
（2）令m=x，n=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（3）∵f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．
等價(jià)為f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
若f（4）=1，
則f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2，
f（4）+f（16）=f（64）=1+2=3，
則f[（3x+1）（2x-6）]≤3．
等價(jià)為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．
∵f（x）是偶函數(shù)且f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴不等式等價(jià)為-64≤（3x+1）（2x-6）≤64．
即-64≤6x²-16x-6≤64．
解得-$\frac{7}{3}$≤x≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．