Question

15．函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}+b}}{x}$的圖象在點M（1，3）處的切線方程為x+y-4=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）m，n∈R，若$x∈[\frac{1}{2}，2]$時，f（x）_min≤m²+n²，且存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，2]$使得f（x₀）≥m²+n²，求復(fù)數(shù)z=m+ni在復(fù)平面上對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得f（1）=3，f′（1）=-1，解方程可得a，b；
（Ⅱ）求得f（x）在$x∈[\frac{1}{2}，2]$時的極值和最值，可得m²+n²的范圍，運用復(fù)數(shù)的幾何意義和圓的面積公式，計算即可得到．

解答 解（ I）∵$f（x）=ax+\frac{x}$，∴$f'（x）=a-\frac{x^2}$，
依題意$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=-1\\ f（1）=3\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；                       
（ II）由（ I）可得f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
$f'（x）=1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-2}}{x^2}$，
令f′（x）=0解得$x=\sqrt{2}$，$x=-\sqrt{2}$（舍去），
當(dāng)x變化時，f（x），f'（x）的變化如下表：

x	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	$\frac{9}{2}$	↘	極小值f（$\sqrt{2}$）	↗	3

由上表可得，$f{（x）_{max}}=\frac{9}{2}$，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{2}）=2\sqrt{2}$，
所以$2\sqrt{2}≤{m^2}+{n^2}≤\frac{9}{2}$．
所以z=m+ni在復(fù)平面上對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域是以原點為圓心，${2^{\frac{3}{4}}}$為半徑的圓的外部，
$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$為半徑的圓的內(nèi)部（包括圓周），
所以所求的區(qū)域面積為$\frac{9}{2}π-2\sqrt{2}π=（\frac{9}{2}-2\sqrt{2}）π$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查復(fù)數(shù)的幾何意義和圓的面積，屬于中檔題．