Question

4．已知以點C為圓心的圓經過點A（0，-1）和B（4，3），且圓心在直線3x+y-15=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出圓的一般方程，利用待定系數法求圓C的方程；
（Ⅱ）求出|AB|，P到AB距離的最大值為d+r，即可求△PAB的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0   …（1分）
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{1-E+F=0}\\{25+4D+3E+F=0}\\{3•（-\frac{D}{2}）+（-\frac{E}{2}）-15=0}\end{array}\right.$       …（2分）
解得D=-12，E=6，F(xiàn)=5                    …（5分）
∴所求圓的方程是x²+y²-12x+6y+5=0             …（6分）
（Ⅱ）|AB|=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，…（7分）
由已知知直線AB的方程為x-y-1=0       …（8分）
所以圓心C（6，-3）到AB的距離為d=4$\sqrt{2}$    …（9分）
P到AB距離的最大值為d+r=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{10}$    …（11分）
所以△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×（4\sqrt{2}+2\sqrt{10}）$=16+8$\sqrt{5}$   …（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查三角形面積的計算，考查系數分析解決問題的能力，比較基礎．