Question

15．已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）證明；當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)k∈R，關(guān)于x的方程f（x）=k有且僅有一解．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于零列出不等式組，解出即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系，得出結(jié)論；
（3）f（x）=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$），本題轉(zhuǎn)化為證明f（x）的值域?yàn)镽，即證明g（x）=$\frac{2}{x+1}-1$值域?yàn)椋?，+∞）．

解答 解：（1）由函數(shù)有意義得
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）f（x）是奇函數(shù)．證明如下：
由（1）知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
∵f（-x）=log₂（1+x）-1og₂（1-x）=-f（x）．
∴f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）是奇函數(shù)．
（3）f（x）=log₂（1-x）-1og₂（1+x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$）．
令g（x）=$\frac{2}{x+1}-1$，則g（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，畫出g（x）圖象如圖：

由圖象得g（x）在（-1，1）上的值域?yàn)椋?，+∞）．
∴f（x）=log₂（$\frac{2}{x+1}-1$）在（-1，1）上是減函數(shù)，且f（x）在（-1，1）上的值域?yàn)镽．
∴當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)k∈R，關(guān)于x的方程f（x）=k有且僅有一解．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于綜合題．