Question

1．已知平面內(nèi)O、A、B、C四點(diǎn)，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R）
（1）若x+y=1，求證A、B、C三點(diǎn)共線；
（2）若A、B、C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)x、y應(yīng)滿足怎樣的條件？

Answer 1

分析 （1）由題意可得y=1-x，可得$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$，由向量運(yùn)算可得$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$共線，可得A、B、C三點(diǎn)共線；
（2）由（1）的證明過程，逆向推理可得．

解答 解：（1）∵x+y=1，∴y=1-x，
又∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$共線，
∴A、B、C三點(diǎn)共線；
（2）若A、B、C三點(diǎn)共線，則$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$共線，
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
∴y=1-x，即x+y=1，
∴實(shí)數(shù)x、y應(yīng)滿足的條件為x+y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的共線與三點(diǎn)共線，屬中檔題．