Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）-f（log_0.5a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）為奇函數(shù)，則不等式轉(zhuǎn)化成f（log₂a）≤f（1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x，求導(dǎo)f′（x）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$+1＞0，則f（x）在R單調(diào)遞增，
則f（-x）=e^-x-$\frac{1}{{e}^{-x}}$-x=-（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)，
則f（log_0.5a）=-f（-log_0.5a）=-f（log₂a）
由f（log₂a）-f（log_0.5a）≤2f（1），則f（log₂a）+f（log₂a）≤2f（1），
∴f（log₂a）≤f（1），
由log₂a≤1，解得：0＜a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，2]．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．