Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*且λ≠-1），且a₁，2a₂，a₃+3為等差數(shù)列{b_n}的前3項．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=$\frac{1}{（_{n+1}-n）^{2}-1}$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=λS_n+1與a_n=λS_n-1+1（n≥2）作差、整理可知a_n+1=（1+λ）a_n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}為以1為首項、公比為λ+1的等比數(shù)列，從而a₃=（λ+1）²，通過a₁、2a₂、a₃+3為等差數(shù)列{b_n}的前三項可知λ=1，計算即得結(jié)論；
（2）通過b_n=3n-2，裂項可知c_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ≠-1），
∴當(dāng)n≥2時，a_n=λS_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（1+λ）a_n，
又a₁=1，a₂=λa₁+1=λ+1，
∴數(shù)列{a_n}為以1為首項、公比為λ+1的等比數(shù)列，
∴a₃=（λ+1）²，
又∵a₁、2a₂、a₃+3為等差數(shù)列{b_n}的前三項，
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，
整理得（λ-1）²=0，解得λ=1，
∴a_n=2^n-1，
b_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵b_n=3n-2，
∴c_n=$\frac{1}{（_{n+1}-n）^{2}-1}$
=$\frac{1}{[3（n+1）-2-n]^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2n+1+1）（2n+1-1）}$
=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．