【題目】已知F為拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,過F的直線l與C交于A,B兩點,M為AB中點,點M到x軸的距離為d,|AB|=2d+1.
(1)求p的值;
(2)過A,B分別作C的兩條切線l1 , l2 , l1∩l2=N.請選擇x,y軸中的一條,比較M,N到該軸的距離.
【答案】
(1)解:設(shè)拋物線C的準線為m,如圖,過A,B,M分別作直線m的垂線,垂足分別為A1,B1,M1.
,
所以 ,所以p=1
(2)解:由(1)得,拋物線 ,
因為直線l不垂直于x軸,可設(shè) .
由 ,消去y得,x2﹣2kx﹣1=0,
由韋達定理得, ,
所以 .
拋物線C:x2=2y,即 ,故y'=x,
因此,切線l1的斜率為x1,切線l1的方程為y=x1(x﹣x1)+y1,
整理得 ①,
同理可得 ②,
聯(lián)立①②并消去y,得 ,
把 代入①,得 ,故 .
因為xM=xN, ,
所以M,N到y(tǒng)軸的距離相等;M到x軸的距離不小于N到x軸的距離.
(注:只需比較M,N到x軸或y軸的距離中的一個即可)
【解析】(1)利用拋物線的定義,建立方程,即可得出結(jié)論;(2)判斷xM=xN, ,即可得出結(jié)論.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,a2+a7=﹣23,a3+a8=﹣29
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an+bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,求{bn}的前n項和Sn .
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【題目】設(shè)P是橢圓上一點,M,N分別是兩圓(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,滿足(2a﹣c)cosB=bcosC.
(1)求B的大小;
(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點D,使得AD=2CD=4.當角D為何值時,四邊形ABCD面積最大.
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【題目】若數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S2n﹣12+S2n2=4(a2n﹣2),則2a1+a100=( )
A.﹣8
B.﹣6
C.0
D.2
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【題目】已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于( )
A.
B.1
C.2
D.4
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【題目】函數(shù)f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x﹣2k)﹣k<0,則k的取值范圍是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.( ,+∞)
D.( ,+∞)
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【題目】已知{an}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,且4Sn=(an+1)2 . (Ⅰ)求a1 , a2的值及{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列 的最小值.
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【題目】某工藝品廠要設(shè)計一個如圖1所示的工藝品,現(xiàn)有某種型號的長方形材料如圖2所示,其周長為4m,這種材料沿其對角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況.如圖,ABCD(AB>AD)為長方形的材料,沿AC折疊后AB'交DC于點P,設(shè)△ADP的面積為S2 , 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 .
(Ⅰ)設(shè)AB=xm,用x表示圖中DP的長度,并寫出x的取值范圍;
(Ⅱ)求面積S2最大時,應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬?
(Ⅲ)求面積(S1+2S2)最大時,應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬?
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