Question

6．已知常數(shù)a＞1，變量x，y之間有關(guān)系式log_ax+3log_xa-log_xy=3，設(shè)x=a^t．
（1）用a、t表示y；
（2）若t≥1時，y有最小值8，求a與x的值．

Answer 1

分析 （1）由x=a^t，可得log_ax=t，log_xa=$\frac{1}{t}$，由于log_ax+3log_xa-log_xy=3，于是t+$\frac{3}{t}$-log_xy=3，化為log_xy=$t+\frac{3}{t}$-3，可得y=${a}^{{t}^{2}-3t+3}$．
（2）y=${a}^{（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$（a＞1）．由于t≥1時，y有最小值8，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得：$t=\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）=y取得最小值${a}^{\frac{3}{4}}$=8，即可得出．

解答 解：（1）∵x=a^t，∴l(xiāng)og_ax=t，log_xa=$\frac{1}{t}$，
∵log_ax+3log_xa-log_xy=3，
∴t+$\frac{3}{t}$-log_xy=3，
化為log_xy=$t+\frac{3}{t}$-3，
∴y=${x}^{t+\frac{3}{t}-3}$=${a}^{t（t+\frac{3}{t}-3）}$=${a}^{{t}^{2}-3t+3}$．
（2）y=${a}^{（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$（a＞1）．
∵t≥1時，y有最小值8，
∴$t=\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）=y取得最小值${a}^{\frac{3}{4}}$=8，
解得a=16．
∴a=16，x=$1{6}^{\frac{3}{2}}$=64．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．