Question

4．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項的和，a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的公比q；
（2）判斷S₃，S₉，S₆是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，請給出證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式列出方程，求出公比q；
（2）由（1）求出公比進行分類討論，分別根據(jù)等差中項的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：（1）由題意得：2a₈=a₂+a₅…（1分）
所以$2{a_1}{q^7}={a_1}q+{a_1}{q^4}$，
因為a₁q≠0，所以2q⁶=1+q³，則2q⁶-q³-1=0…（4分）
解得${q^3}=1或{q^3}=-\frac{1}{2}$，所以 $q=1或q={\;}^3\sqrt{-\frac{1}{2}}$．…（7分）
證明：（2）①當q=1時，因為2S₉≠S₃+S₆，
所以q=1時S₃，S₉，S₆不成等差數(shù)列；     …（10分）
②當q≠1時，知${q^3}=-\frac{1}{2}$，
所以$2{S_9}=\frac{{2{a_1}（1-{q^9}）}}{1-q}=\frac{{2{a_1}}}{1-q}•\frac{9}{8}=\frac{{9{a_1}}}{4（1-q）}$，
${S_3}+{S_6}=\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}+\frac{{{a_1}（1-{q^6}）}}{1-q}=\frac{{9{a_1}}}{4（1-q）}$．
所以2S₉=S₃+S₆，
所以q≠1時，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．…（13分）
綜上：當q=1時S₃，S₉，S₆不成等差數(shù)列；
當q≠1時，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．（14分）

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，以及等差中項的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．