Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a＜0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜4|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍，求出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時恒成立，而函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，所以y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
當(dāng)a＜0時，f'（x）＞0恒成立，此時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
又函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$，
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價于f（x₂）-f（x₁）＜$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$，
即f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$＜f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$，
設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|＜4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．
于是h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$≤0即x²-ax-4≤0在x∈（0，1]時恒成立，
從而a≥x-$\frac{4}{x}$在x∈（0，1]上恒成立，
而函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，
所以y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3．
于是a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．